7 czerwca 2003 roku przyjął święcenia kapłańskie. Kilkanaście lat później, 8 września 2016 roku, został mianowany przez abpa Wojciecha Polaka rektorem Prymasowskiego Wyższego Seminarium Duchownego w Gnieźnie.
W 2010 roku ks. Przemysław Kwiatkowski obronił z wyróżnieniem doktorat na Papieskim Instytucie Jana Pawła II dla Studiów nad Małżeństwem i Rodziną przy Papieskim Uniwersytecie Laterańskim w Rzymie. W latach 2011–2019 wykładał tam teologię duchowości i katolicką naukę społeczną, a także pełnił funkcję sekretarza Katedry im. Karola Wojtyły. Był również odpowiedzialny za studia podyplomowe dotyczące seksualności i płodności małżeńskiej, organizowane wspólnie z Wydziałem Medycyny Katolickiego Uniwersytetu Najświętszego Serca. Jego zaangażowanie objęło także redakcję włosko-polskiej edycji dzieł Karola Wojtyły dotyczących miłości, małżeństwa i rodziny.
Aktywnie uczestniczy w duszpasterstwie rodzin i kształceniu duchownych, współpracując z różnymi wspólnotami chrześcijańskimi oraz Konferencją Episkopatu Włoch i Polski. Jest też zaangażowany w projekt Misterogrande zarówno we Włoszech, jak i w Polsce. Ukończył studia podyplomowe dla wychowawców seminaryjnych na Papieskim Uniwersytecie Świętego Krzyża w Rzymie.
Od 2014 roku pełnił funkcję sekretarza Prymasa Polski, a w 2016 roku został mianowany rektorem seminarium w Gnieźnie. W latach 2016–2023 był prezesem Fundacji św. Wojciecha-Adalberta, a w latach 2020–2022 pełnił funkcję sekretarza, a następnie w 2022–2023 przewodniczącego Konferencji Rektorów Wyższych Seminariów Duchownych w Polsce. Był także konsultorem Komisji Duchowieństwa KEP.
1 lipca 2023 zakończył pełnienie funkcji rektora seminarium, obejmując stanowisko przewodniczącego Wydziału Duszpasterskiego Kurii Metropolitalnej archidiecezji gnieźnieńskiej. Od 21 listopada 2023 pełni rolę konsultora Rady ds. Rodziny KEP.
31 maja 2024 ks. dr. Przemysława Kwiatkowskiego mianowano proboszczem parafii katedralnej przy Bazylice prymasowskiej pw. Wniebowzięcia NMP w Gnieźnie.